3 etap 2000 solutions, Zadania z olimpiad fizycznych, Białoruskie olimpiady fizyczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Решения.
11 класс.
1. Движение связанных шайб можно
представить как суперпозицию
поступательного равномерного движения
центра масс и вращения вокруг оси,
проходящей через центр масс. Координату
центра масс
C
найдем по формуле
ml
mm
l
y
C
=
=
2
,
(1)
+
Скорость центра масс
mV
m
V
V
=
0
=
0
,
3
3
(2)
а угловая скорость вращения
ω=
V
l
0
.
(3)
В таком представлении зависимости координат шайб от времени почти
очевидны:
V
2
3
V
l
V
1
3
V
l
⎧
⎧
x
=+
0
t
l
sin
0
t
x
=−
0
t
l
sin
0
t
⎪
⎪
1
2
3
3
;
.
(4)
⎨
⎨
l
2
3
V
l
l
1
3
V
l
⎪
⎪
y
=+
l
cos
0
t
y
=−
l
cos
0
t
1
2
⎩
3
⎩
3
Для построения траекторий можно нарисовать нескольких положений
связанных шайб при изменении угла поворота, например на
45
°
, и соединить
их плавными линиями. Для этого удобно переписать уравнения движения в
зависимости от угла поворота
ϕ=
V
l
t
0
:
l
l
⎧
⎧
x
=
(
ϕ
+
2
sin
ϕ
)
x
=
(
ϕϕ
−
sin)
⎪
⎪
1
2
3
3
;
.
(6)
⎨
⎨
l
l
⎪
⎪
y
=+
(
12
cos
ϕ
)
y
=−
(
1
s)
ϕ
1
1
⎩
3
⎩
3
Результат построения показан на следующем рисунке
1
Более эффектная картинка получится, если уменьшить шаг изменения
угла поворота
Траекториями движения являются две циклоиды, первая из которых -
удлиненная.
Схема оценивания.
Номер
пункта
Содержание
баллы
всего
в том числе за
подпункты
1
Разложение движения на составляющие
2
2
Уравнения законов движения
5
- положение центра масс
1
- скорость центра масс
1
- угловая скорость вращения
1
- закон движения тела
m
1
- закон движения тела
2m
1
3
Построение траекторий
3
- метод построения
1
- тела
m
1
- тела
2m
1
всего
10
2
 2. Сила, действующая на подвешенную пластину, вычисляется с помощью
«цепочки» формул
ε
E
2
ε
US
h
2
qE
S E
σ
F
== =
0
S
=
0
,
(1)
2
2
2
2
2
где
q
- электрический заряд одной пластины,
σ
- поверхностная плотность
заряда на пластине,
E
=
σ
2
- напряженность поля, создаваемого одной
0
U
h
пластиной (естественно, напряженность поля внутри конденсатора
E
1
=
в
два раза больше).
Условие равновесия пластины имеет вид
2
ε
0
US
h
mg
+
=
kl l
(
− −
h
)
,
(2)
0
2
2
−
0
- сила упругости пружины,
l
- расстояние от нижней неподвижной платины до
точки подвеса,
l
0
- длина недеформированной
пружины,
h
- расстояние между пластинами.
Если напряжение между пластинами отсутствует, то
hh
где
(
ll h
)
=
0
, тогда выполняется условие
mg
=
k l
(
− −
l
h
)
.
(3)
0
0
Из уравнений (2)-(3) следует
ε
0
2
US
h
=
kh
(
−
h
)
.
(4)
0
2
2
Пластины смогут находится в положении равновесия, если уравнение (4) имеет
корни, если в качестве неизвестной рассматривать величину
h
. Перепишем
уравнение (4) в виде
ε
0
2
US
kh
+=
hh
(5)
0
2
2
и найдем минимум функции
2
ε
0
US
kh
fh
()
=
+
h
. Производная от этой
2
2
2
ε
0
US
kh
функции
′
fh
()
=−
+
1
обращается в
3
2
ε
0
US
k
∗
нуль при
hh
==
. Поэтому
3
минимальное значение рассматриваемой
функции определяется выражением
3
2
∗
∗
f
=
f
()
h
=
h
. Уравнение (4) и
min
min
<
0
. Таким
образом, условия существования положения равновесия имеет вид
f
h
равносильное ему уравнение (5) будут иметь корни, если
3
 2
3
2
ε
US
k
0
<
.
(6)
3
0
Из этого неравенства находим
kh
S
3
<
8
27
U
0
.
(7)
ε
Теперь необходимо убедится, что хотя бы одно из решений уравнения (4)
описывает устойчивое положение равновесия.
Для этого построим схематически
графики зависимостей сил упругости
пружины и силы электрического
притяжения от расстояния между
пластинами.
Легко показать, что большему корню
h
1
соответствует положение устойчивого
равновесия, а меньшему
h
2
- положение
неустойчивого равновесия.
Таким образом, при выполнении
неравенства (7), пластины могут находится
на некотором расстоянии друг от друга.
Схема оценивания.
Номер
пункта
Содержание
баллы
всего
в том числе за
подпункты
1
Аналитическое условие равновесия (4)
5
- сила притяжения (1)
3
1
- сила упругости
- уравнение (4)
1
2
Условие существования корней
3
- анализ уравнения (4)
2
- условие (7)
1
3
Доказательство устойчивости
2
итого
10
4
 Ak
(
=
12
, ,... )
5
через
ϕ
k
, заряды
3. Обозначим потенциалы точек
k
конденсаторов емкостями
C
1
-
′
q
k
, а кондесаторов
C
2
-
q
k
, соответсвенно.
Расставим также предположительные знаки зарядов на пластинах
конденсаторов.
Так как потенциалы точек
Ak
(
=
12
, ,... )
5
должны образовывать
k
геометрическую прогрессию, то
ϕϕλ
k
=
,
(1)
k
0
=
U
.
Используя закон сохранения электрического заряда, можно записать
соотношения между зарядами конденсаторов, подключенных к точке
A
1
:
′ =+′
где
λ
- неизвестный пока знаменатель прогрессии, а
ϕ
0
0
qqq
1 1 2
. (2)
Заряды конденсаторов связаны с разностью потенциалов соотношением
q
= ∆ϕ
. Следовательно,
qC
=
ϕ λ ϕ
ϕϕ λϕ
ϕϕ λλϕ
=
C
1
2
1
2
0
qC
′ =
(
−
)
= −
(
1
)
C
.
(3)
1
1
0
1
1
0
qC
′ =
(
−
)
=
(
1
−
)
C
2
1
1
21
1
0
Подставляя значения зарядов в уравнение (2), получим уравнение из
решения которого можно найти значение величины
λ
(
1
−
λ ϕ λ ϕ λ
)
C
=
C
+
(
1
−
λ ϕ
)
C
,
10
20
10
или
C
C
(
1
−= + −
λλ λλ
)
2
(
1
)
.
(4)
1
Корни этого квадратного уравнения находятся по стандартной формуле
C
C
C
C
2
2
+± + −
2
(
2
2
)
4
1
1
λ
12
=
.
(5)
,
2
Используя значение отношения емкостей конденсаторов, получим
1
3
λ
=
3
,
λ
=
.
(6).
1
2
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • styleman.xlx.pl

    		•