3 etap 2002 solutions, Zadania z olimpiad fizycznych, Białoruskie olimpiady fizyczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
9 класс.
1.
Перейдем в систему отсчета,
связанную с кораблем
А
. В этой
системе корабль
В
движется с
относительной скоростью
r r r
VVV
отн
=
2 1
. Модуль этой
скорости равен
r
V
cos
α
,
отн
= 2
v
(1)
2
а ее вектор направлен под углом
α
2
3=° к отрезку
АВ
(см рис).
Следовательно, корабль
В
движется относительно корабля
А
по
прямой ВС.
а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от
точки А до прямой ВС, которое равно
l L
L
α
=
sin
22
.
(2)
min
б) Очевидно, что шлюпка, спущенная с корабля
В
, достигнет
корабля
А
за минимальное время, если скорость их сближения
максимальна, а начальное расстояние между ними минимально. Эти
условия будут выполнены, если шлюпку сразу спустить на воду и
направить ее навстречу кораблю
А
. Тогда время, за которое шлюпка
достигнет корабля
А
вычисляется по формуле
L
v
t
min
=
2
.
(3)
в) Пусть капитан корабля
В
отправляет
шлюпку через время τ (нам
необходимо найти его максимально
возможное значение) в точке S, а затем
через время
t
шлюпка встречается с
кораблем
А
в точке
D
(см. рис. ). За это
время корабль
А
пройдет путь
(
)
AD v
=+τ . Как следует из рис. ,
чтобы шлюпка и корабль
А
встретились должно выполняться
условие (которое следует из теоремы косинусов для треугольника
BSD
)
() ()
(
)
( )
(
)
( )
2
(
)
2
2
ut
=
v
τ
+
L vt
−
+
τ
−
2
v L vt
τ
−
+
τ
cos
α
.
(4)
1
 Для того, чтобы найти максимальное значение времени τ
необходимо рассмотреть выражение (4) как уравнение относительно
величины
t
и определить условия (значения τ), при которых оно
имеет неотрицательное решение. В принципе этот путь решения
задачи приведет к успеху, правда путем долгих и громоздких
алгебраических преобразований.
Кстати, это же уравнение (при
u
= ) можно использовать для
алгебраического обоснования результата, полученного в п. б). Решив
это уравнение относительно
t
, можно получить зависимость
времени движения
(
)
t
+ τ от времени τ, а затем найти минимум
этой функции. Этот способ приводит к уже полученному результату:
функция
(
)
t
+ τ монотонно возрастает с ростом τ, следовательно ее
минимум достигается при τ= 0 .
Вернемся к решению
пункта в).
Опять рассмотрим
движение кораблей в
системе отсчета, связанной
с кораблем
А
. В этой
системе диаграмма перемещений кораблей и шлюпки имеет вид,
,
r
r r
=
2
показанный на рис. , здесь обозначено β
uVV
отн
=−
1
-
2
скорость шлюпки, относительно корабля
А
. На рисунке видно, что
время τ (или что то же самое перемещение
V
τ) будет максимально
при максимальном угле γ, между направлением относительной
скорости
r
u
отн
и отрезком
АВ
. Максимальное значение этого угла
можно найти, построив диаграмму скоростей (рис. ) .
Вектор скорости шлюпки
r
u
может быть направлен под
произвольным углом, иными словами его конец может
располагаться в любой точке нарисованной окружности. Как следует
из рисунка угол γ будет максимален, если вектор
r
u
отн
будет
ma
γ =
u
касательным к этой окружности. Таким образом, sin
v
.
Запишем теорему синусов для треугольника
ABS
2
 V
τ
γ
L
=
,
(5)
max
(
)
sin
sin
π β γ
−−
max
max
где
(
)
π β γ
−−
max
- угол
ASB
. Из выражения (5) находим
L
V
sin
sin
γ
βγ
L
γ
βγ
sin
τ
=⋅
=
⋅
=
max
max
(
)
max
+
2
v
cos
β
sin
cos
+
sin
γ β
cos
max
max
max
L
v
sin
γ
=⋅
=
(6)
max
sin
21
β
−
sin
2
γ
+
sin
γ
2
cos
2
β
max
max
L
v
2
=⋅
.
2
v
u
⎛
⎞
3
⎟
−+
1
3
⎜
Отметим, что при
1)
u
→ 0 τ
max
→ 0, т.е. шлюпку надо сразу спускать на воду и ждать
пока к ней подплывет второй корабль;
2) при
u
= , капитан может подождать в течении времени τ
max
=
2
L
V
;
3) при
u
> шлюпка может догнать корабль после любого времени
ожидания τ.
3
г) Скорость снаряда будет минимальна, если он пролетит
минимальное расстояние, будучи выпущен под углом 45° к
горизонту. Следовательно эту скорость можно найти из уравнения
v
2
=
l
, или
min
min
g
Lg
v
min
=
.
2
3
2. Различия в показаниях вольтметров, возникаю из-за того, что они
не являются идеальными, то есть имеют конечное сопротивление,
которое мы обозначим
R
V
, которое сравнимо с сопротивлением
резисторов
R
.
На схеме указаны обозначения токов, текущих через
различные элементы схемы. Используя законы последовательного и
параллельного соединения, можно записать следующие уравнения
UI R
UI RR
UI RU
=
= +
=+
3
3
V
(
)
.
(1)
2
3
V
1
2
2
Выразим силу тока
I
2
через силу тока
I
3
, используя систему
уравнений
I I I
IR U
V
= +
=
'
2
2
3
,
(2)
'
2
2
из которой следует
U
R
I
=+.
I
(3)
2
2
3
V
Не смотря на то, что в системе 4 уравнений (1), (3) содержится 5
неизвестных, из нее можно найти значение
U
2
.
Действительно, в третье уравнение системы (1) подставим
выражение (3)
⎛
⎜
U
R
⎞
U
=
+
IRU
⎟
+
.
(4)
2
1
3
2
V
А из первых двух уравнений этой же системы выразим:
IR U U
3
=
−
(из разности этих уравнений);
2
3
R
R
U
U
=−
1 (из частного этих уравнений);
2
V
3
и подставим их в уравнение (4)
UU
U
U
⎛
⎜
⎞
⎟
+−+.
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
=
−
1
UUU
2
1
2
2
3
2
3
4
 U
UUUU
B
2
5
2
+
4
−
=
3
12
3
≈ ,
86
.
2
Отрицательный корень мы отбросили, как не имеющий физического
смысла.
Отметим, что в нашей цепи
RR
V
≈ 12
, что подтверждает наше
исходное предположение.
3. Пусть цилиндр поднялся над водой на высоту
x
.
Тогда действующая на него сила Архимеда равна
(
)
ρ
0
. (1)
Так как эта сила изменяется по линейному закону,
то для вычисления ее работы можно использовать
ее среднее значение. Итак, работа силы Архимеда
FS h
A
=
−
x g
1
2
A
A
=
ρ
Shg h
⋅
(2)
пошла на увеличение кинетической и потенциальной энергии
цилиндра
1
2
ρ
Shv
2
ρ
Sh g
2
=
ρ
Shg h
⋅ +
.
(3)
0
2
Из этого уравнения определяем скорость цилиндра
ρρ
ρ
−
2
м
с
v
=
gh
≈
1,
.
0
ρ
Обратите внимание, при ρ
>
цилиндр не выскочит из воды
0
2
полностью.
4. Будем считать, что протекая по отопительным радиаторам, вода
остывает до комнатной температуры. Для того, чтобы температура в
комнате осталась неизменной, необходимо, чтобы после ремонта
вода приносила в единицу времени такое же количество теплоты,
что выражается уравнением
(
)
)
(
− = − .
Из этого уравнения определяем скорость движения воды по трубам
(
cvSt t cvSt t
ρ
ρ
11 1
0
2 2 2
0
)
vv
St t
St t
−
−
=
11
0
.
(
)
2
1
22
0
Решение задач.
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • styleman.xlx.pl

    		•