5 wnioski z metody najmniejszych kwadratów, modelowanie ekonometryczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 5
Wnioski z metody najmniejszych kwadratów
RozwaŜmy układ równań normalnych w sytuacji, gdy model liniowy ma wyraz wolny, to znaczy
1
x
º
. Układ równań normalnych moŜna zapisać w postaci:
tk
n
n
n
n
∑
2
1
∑
∑
∑
a
x
+
a
x
x
+
...
+
a
x
=
y
x
1
t
2
t
1
t
2
k
t
1
t
t
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
n
n
n
n
∑
∑
2
2
∑
∑
a
x
x
+
a
x
+
...
+
a
x
=
y
x
1
t
1
t
2
2
t
k
t
2
t
t
2
(5.1)
t
=
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
…………………………………………………..
n
n
n
∑
∑
∑
a
x
+
a
x
+
...
+
na
=
y
1
t
1
2
t
2
k
t
t
=
1
t
=
1
t
=
1
Ostatnie równanie podzielmy przez n:
n
n
n
1
1
1
∑
∑
∑
a
x
+
a
x
+
...
+
a
=
y
(5.2)
1
t
1
2
t
2
k
t
n
n
n
t
=
1
t
=
1
t
=
1
a
x
+
a
x
+
...
+
a
=
y
(5.3)
1
1
2
2
k
Funkcja liniowa z wyrazem wolnym przechodzi przez wartości średnie zmiennych.
W dalszej analizie odwołajmy się do postaci układu bezpośrednio po zróŜniczkowaniu:
n

S
(
) (
)
∑
=
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
x
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
1

a
1
t
1
n

S
(
) (
)
∑
=
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
x
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
2

a
(5.4)
2
t
1
…………………………………………………………

S
n
(
) (
)
∑
=
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
1
t
1
t
1
2
t
2
k
tk

a
t
1
k
dr Dušan Bogdanov
1
Ekonometria 1
Z przyrównania pochodnych cząstkowych do zera otrzymaliśmy:
n
(
) (
)
∑
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
x
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
1
t
1
n
(
) (
)
∑
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
x
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
2
(5.5)
t
1
………………………………………………………
n
(
) (
)
∑
=
2
×
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
-
1
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
1
n
(
)
∑
=
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
x
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
1
t
1
n
(
)
∑
=
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
×
x
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
2
(5.6)
t
1
…………………………………………………
n
(
)
∑
=
y
-
a
x
-
a
x
-
...
-
a
x
=
0
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
1
Odchylenia zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej
y
od wartości oszacowanej funkcji
ˆ
ˆ
y
=
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
e
=
y
-
y
nazywamy resztami.
, to jest
t
1
t
1
2
t
2
k
tk
t
t
t
n
∑
=
e
t
x
=
0
t
1
t
1
n
∑
=
e
t
x
=
0
t
2
(5.7)
t
1
…………
n
∑
=
e
=
0
t
1
Z przedstawionych równań wynika, Ŝe w modelu liniowym szacowanym metodą najmniejszych
kwadratów wektor reszt i zmienne objaśniane są ortogonalne i jeŜeli w modelu jest wyraz wolny
to suma reszt jest równa 0.
dr Dušan Bogdanov
2
Ekonometria 1
W warunku 3 stosowania metody najmniejszych kwadratów Ŝądamy, aby zmienne objaśniające
były liniowo niezaleŜne, to znaczy aby Ŝadna ze zmiennych objaśniających nie była kombinacją
(
)
X
T
X
liniową pozostałych zmiennych. Spełnienie tego warunku gwarantuje nam, Ŝe macierz
jest
(
)
X
T
det
X
¹
0
nieosobliwa tzn.
, a więc układ równań normalnych ma rozwiązanie. Sprawdźmy
y
=
a
x
+
a
x
to na przykładzie modelu, w którym będą tylko dwie zmienne objaśniające:
,
1
1
2
2
x
=
px
,
p
-
jeŜeli te zmienne będą liniowo zaleŜne to
skalar, wówczas:
1
2
n
n
n
n
∑
2
1
∑
∑
2
2
2
∑
x
x
x
p
x
px
x
t
t
1
t
2
t
t
2
t
2
(
)
T
t
=
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
X
X
=
=
n
n
n
n
∑
∑
2
2
∑
∑
2
2
x
x
x
px
x
x
t
1
t
2
t
t
2
t
2
t
(5.8)
t
=
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
2
2
n
n
(
)
∑
∑
T
2
2
2
2
2
2
det
X
X
=
p
x
-
p
x
=
0
t
t
t
=
1
t
=
1
RozwaŜmy jeszcze, teŜ na przykładzie modelu z dwiema zmiennymi objaśniającymi, przypadek
n
przeciwny, to znaczy, gdy zmienne objaśniające są ortogonalne (prostopadłe), wtedy
∑
=
x
t
x
=
0
,
1
t
2
t
1
oceny parametrów tego modelu będą miały postać:
(
)
-
T
T
a
=
X
X
X
Y
(5.9)
n
n
n
∑
∑
∑
2
1
2
1
x
x
x
x
0
t
t
1
t
2
t
(
)
T
X
X
=
t
=
1
t
=
1
=
t
=
1
(5.10)
n
n
n
∑
∑
∑
2
2
2
2
x
x
x
0
x
t
1
t
2
t
t
t
=
1
t
=
1
t
=
1
n
n
(
)
∑
∑
T
2
1
2
2
det
X
X
=
x
x
(5.11)
t
t
t
=
1
t
=
1
n
n
∑
2
2
∑
x
0
y
x
a
t
t
t
1
1
1
=
t
=
1
×
t
=
1
(5.12)
n
n
n
n
a
∑
∑
∑
2
1
∑
2
1
2
2
2
0
x
y
x
x
x
t
t
t
2
t
t
t
=
1
t
=
1
t
=
1
t
=
1
dr Dušan Bogdanov
3
Ekonometria 1
n
∑
y
x
t
t
1
t
=
1
n
∑
2
1
x
a
t
1
=
t
=
1
(5.13)
n
a
∑
2
y
x
t
t
2
t
=
1
n
∑
2
2
x
t
t
=
1
Z powyŜszego widać, Ŝe w przypadku zmiennych objaśniających ortogonalnych oceny parametrów
przy poszczególnych zmiennych zaleŜą tylko od obserwacji tych zmiennych i zmiennej objaśnianej.
Wniosek ten moŜna uogólnić na dowolną liczbę zmiennych objaśniających. Wzajemna ortogonalność
zmiennych objaśniających jest korzystna dla interpretacji parametrów strukturalnych modelu
1
.
Pytania kontrolne:
1.
Kiedy zmienne objaśniające modelu są ortogonalne?
2.
Jakie skutki dla szacunków parametrów modelu ma ortogonalność zmiennych?
3. Kiedy zmienne są liniowo niezaleŜne?
1
M. Rocki, Ekonometria praktyczna, SGH, Warszawa 2000, s. 28-29
dr Dušan Bogdanov
4
Ekonometria 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • styleman.xlx.pl

    		•