3 etap 2005 solutions, Zadania z olimpiad fizycznych, Białoruskie olimpiady fizyczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
III этап, 2005г. Решения задач.
9 класс.
1. «Лебедка»
Обозначим время подъема одной бочки по наклонной плоскости
t
. Тогда лебедка
совершит за это время работу
A
η
=
P
0
t
, равную изменения потенциальной энергии бочки
0
∆
U
=
mgh
, т.е.
0
η . (1)
При перемещении бочки на расстояние
L
, лебедка должна намотать на вал трос длиной
L
tP
=
0
mgh
2
, поэтому
2
π
rnt
0
=
2
L
.
(2)
Из этих уравнений находим
mgh
t
=
,
(3)
0
η
P
0
η
0
P
L
n
=
.
(4)
π
rmgh
2 «Триатлон»
Обозначим скорость «байдарочника»
v
. Тогда скорость
v
«пловца» равна
0
, а скорость бегуна
2
v
.
0
2
Отношения времен движения спортсменов находится
достаточно просто
2
2
h
+
S
2
2
t
v
2
h
+
S
1
=
0
=
.
(1)
2
h
S
t
4
h
+
S
+
2
v
2
v
0
0
При
h
=
S
t
2
h
2
+
S
2
2
2
1
=
=
≈
0
566
,
(2)
t
4
h
+
S
5
2
то есть «байдарочник» побеждает.
Спортсмены придут к финишу одновременно при выполнении условия
2
2
t
2
h
+
S
1
.
(3)
=
=
1
t
4
h
+
S
2
Решая это уравнение, находим
2
2
4
h
+
16
h
+
36
h
4
+
2
13
S
=
=
h
≈
374
м
.
(4)
3
3
Чтобы время движения второго спортсмена было
минимально, он может выбрать другой «маршрут»: пусть
он сначала бежит по берегу по отрезку
AD
, а затем
вплавь по отрезку
DB
. Чтобы «выбрать оптимальную
точку
D
, воспользуемся следующими рассуждениями:
при движении по берегу,
скорость его приближения
к
точке финиша равна
1
 v
C
= . (5)
Очевидно, что имеет смысл бежать по берегу до тех пока, эта скорость больше, чем
скорость приближения в плавь. Таким образом, спортсмен должен начать плыть в точке,
где направление на точку финиша, определяется соотношением
2
v
cos
α
0
v
v
C
=
2
v
cos
α
=
0
.
(6)
0
2
Из него следует
1
15
2
cos
α
=
;
sin
α
=
1
−
cos
α
=
;
tg
α
=
15
.
4
4
h
Тогда
x
=
AD
=
S
−
≈
574
м
.
tg
α
Полное время движения по оптимальному маршруту
(
)
2
h
2
+
S
−
x
x
t
=
+
,
(7)
2
v
2
v
0
0
2
А отношение времен движения
2
2
t
h
+
S
2
37
1
=
=
≈
1
23
.
(8)
x
t
6
+
15
(
)
2
2
+
2
h
+
S
−
x
2
2
3. «Термометр»
3.1 Смысл параметров, входящих в приведенные формулы следующий:
∆
l
1
l
0
,
V
- длина и объем тела при
t
= 0
°
C
,
α
- относительное удлинение при
0
l
t
0
∆
V
1
изменении температуры на 1 градус, аналогично
β
- относительное изменение
V
t
0
объема при изменении температуры на 1 градус.
3.2 Изменение объема тела может быть выражено через изменение его линейных размеров
(
) (
) (
)
)
(
+= ,
В этом выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми второго и третьего порядка.
Сравнивая с формулой для изменения объема
V
l
1
α
t
l
1
+
α
t
l
1
+
α
t
≈
l
l
l
1
+
3
α
t
10
20
30
10
20
30
)
(
V
=
V
1
+
β
t
, получаем связь между
0
параметрами
β 3= . (1)
3.3 Для «градуировки» столбика термометра
достаточно записать соотношение для изменения
объема ртути
α
π
d
2
0
(
)
V
+
h
=
V
1
+
β
t
.
(2)
0
0
4
Откуда следует
4
V
β
h
=
π
0
t
≈
1
15
t
,
(3)
2
0
d
графиком этой функции является прямая,
проходящая через начало координат.
3.4 При учете изменения размеров стекла соотношение для изменения объема ртути имеет
вид
2
 )
(
2
0
π
d
1
+
2
α
t
(
)
(
)
V
1
+
3
α
t
+
h
=
V
1
+
β
t
.
(4)
0
1
0
4
Из этого уравнения определяем высоту подъема
4
V
β
−
3
α
4
V
β
⎛
α
⎞
0
0
⎜
⎝
⎟
⎠
h
=
t
≈
t
1
−
3
−
2
α
t
.
(5)
1
2
0
2
0
π
d
1
+
2
α
t
π
d
β
Этому значению высоты подъема, по градуировочной зависимости (3) будет «приписана»
температура
2
0
π
d
⎛
α
⎞
t
изм
=
h
=
t
⎜
⎝
1
−
3
−
2
α
t
⎟
⎠
.
.
1
4
V
β
β
0
Следовательно, относительная погрешность измерения температуры равна
t
изм
−
t
α
−
2
ε
=
=
−
3
−
2
α
t
≈
−
5
⋅
10
.
t
β
4. «Поможем Техасу»
4.1 Из уравнения теплового баланса следует, что за единицу времени джоулева теплота
U
2
U
2
hb
=
, выделившаяся при прохождении тока, пойдет на плавление
m
=
q
R
ρ
a
килограммов снега, т.е.
2
U
hb
=
q
γλ
,
(1)
ρ
a
откуда следует
2
3
U
hb
м
−
2
q
=
≈
2
⋅
10
.
(2)
ρ
a
γλ
с
4.2 Если за время
∆ уровень воды поднялся на
∆ , то за это время расплавилось
∆
m
∆
=
hab
γ
льда, на что было затрачено количество теплоты, равное
U
2
U
2
bh
∆
Q
=
∆
t
=
∆
t
. Уравнение теплового баланса в этом случае будет иметь вид
R
ρ
a
U
2
bh
∆
t
=
∆
hab
γλ
,
(3)
ρ
a
из которого следует, что скорость изменения уровня воды в яме пропорциональна высоте
этого уровня
2
∆
h
U
=
h
≈
0
18
h
,
(4)
2
∆
t
ρ
a
γλ
где
t
в минутах, коэффициент пропорциональности имеет размерность
[
]
−
мин
Используя приведенные в условии график можно показать, выполнение этой зависимости,
для чего достаточно рассмотреть малые промежутки времени (например,
=∆ ).
Так как изменение высоты пропорционально самой высоте, то за одинаковые промежутки
времени высота изменяется в одно и тоже число раз
. По графику видно, что за время
мин
t
1
мин
t
4≈ высота увеличилась в два раза, следовательно, она увеличится в 4 раза за время в
два раза большее, то есть за 8 минут.
3
 Решения задач (10 класс)
Задача 1. «Транспортер»
1.1
После контакта детали с направляющей на деталь в горизонтальной плоскости
будут действовать две силы трения:
r
r
F
(со стороны ленты транспортера) и
F
(со
тр
1
тр
2
стороны направляющей), а также сила
реакции
N
r
со стороны направляющей.
Будем считать, что движение деталей
носит поступательный характер, т.е. они не
вращаются при трении о направляющую.
Для снятия (соскальзывания) детали с
транспортера необходимо, чтобы проекция
силы трения
тр
µ= на направляющую
была больше силы трения
F
mg
1
1
Рис.1
F
=
µ
N
о
тр
2
2
направляющую (рис. 1):
µ
mg
sin
α
>
µ
N
.
1
2
С учетом того, что сила реакции
N
=
µ
mg
cos
α
,
1
получаем
tg
α≥
µ
2
Соответственно, для минимального угла
mi
α выбираем случай равенства
α = . (1)
Обратите внимание, что (1) не зависит от значения коэффициента трения µ,
главное — чтобы он был отличен от нуля, иначе детали не смогут двигаться по
транспортеру.
1.2
Таким образом, при выполнении условия
tg
µ
min
2
α> детали будут скользить вдоль
направляющей. Заметим, что по мере роста скорости
u
r
движения деталей вдоль
α
min
направляющей вектор
w
r
скорости их проскальзывания относительно транспортера будет
поворачиваться, «прижимаясь» к нормали
АD
. Вследствие этого будет
поворачиваться и вектор силы трения
r
F
тр
1
из начального положения вдоль
транспортера» до установившегося
положения, при котором он будет
составлять некоторый угол β с нормалью
АD
к направляющей (рис.2).
Следовательно, в установившемся режиме
Рис. 2
. (2)
С другой стороны из треугольника скоростей
АВС
(см. рис. 2) по теореме синусов
F
sin
β
=
µ
N
=
µ
F
cos
β
⇒
tg
β
=
µ
тр
1
2
2
тр
1
2
имеем
u
V
=
, (3)
sin
(
α
−
β
)
sin
ξ
π
где
ξ
=
+
β
.
2
Выделяя из (3) β
tg
с учетом (2) получаем
4
V
sin
α
−
u
tg
β
=
=
µ
.
2
V
cos
α
Окончательно для установившейся скорости
u
поступательного движения деталей
вдоль направляющей получаем
=
Vu
. (4)
Как видим из (4) выражение имеет смысл только при выполнении условия
µ
(sin
α−
µ
cos
α
)
2
tg
,
в противном случае после упора в направляющую детали будут покоиться, т.е.
α≥
u
= .
0
Задача 2. «Кипение»
2.1
Рассмотрим пузырек пара радиуса
r
(рис. 3), образовавшийся внутри кипящей
жидкости. Пузырек увеличивает свой радиус вследствие испарения жидкости внутрь его.
Согласно условию за время
∆ с поверхности жидкости
S
(поверхности
пузырька) испарится объем воды
∆ :
=∆ , (1)
где
D
— «эффективный диаметр» молекулы воды.
Соответственно, объем пузырька также должен увеличиться на
∆ . С другой стороны ∆ можно представить как объем тонкой
сферы радиусом
r
и толщиной
V
N
D
S
∆
t
∆ (см. рис.3):
4π . (2)
Из (1) и (2) находим приращение радиуса пузырька пара
∆ за время
∆
V
=
S
∆
r
=
r
2
∆
r
∆
}
{
=∆ β . (3)
Как следует из (3), приращение радиуса ∆ пузырька пара
за время ∆ не зависит от его радиуса
r
, т.е. радиус пузырька
равномерно увеличивается со временем
r
ND
∆
t
=
=
ND
=
∆
t
Рис. 3
= β . (4)
2.2
Поскольку плотность пара гораздо меньше плотности воды, то силой тяжести
пузырька пара по сравнению с действующей на него силой Архимеда можно пренебречь.
Скорость пузырька υ будет расти до тех пор, пока сила Архимеда не
уравновесится силой сопротивления со стороны воды (см. рис.3)
r
⋅
t
F
=
F
,
A
C
4
1
ρ
g
π
r
3
=
C
ρ
2
π
r
2
,
0
x
0
3
2
⎧
⎫
8
g
8
g
8
g
({}
υ
2
=
⋅
r
=
4
=
⋅
⋅
β
t
=
γ
=
⋅
⋅
β
=
γ
⋅
t
.
⎨
⎬
3
C
3
C
3
C
x
x
x
Подобные приближения, при которых
считается, что в каждый момент времени система
находится в равновесном (стационарном)
состоянии, называются
квазистационарными
(или
как модно говорить сегодня как бы»
стационарными). Соответственно в нашем случае
t
υ =
(
t
)
γ
. (5)
График зависимости (5) представлен на рисунке.
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • styleman.xlx.pl

    		•