3 etap 2007 solutions, Zadania z olimpiad fizycznych, Białoruskie olimpiady fizyczne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Республиканская
физическая
олимпиада
(III этап)
2007 год
Теоретический тур
Решения задач
1
9 класс.
Задание 1. «Рабочая разминка»
Для того, чтобы упростить работу со схемой оценивания, в решении числами в круглых
скобках пронумерованы не только формулы, но и численные ответы и идеи (которые,
кроме того, подчеркнуты).
Решение.
1.1.1
На дл
ине параллелепипеда, в
который скла
дывают плитки, уложится
/
A
NAa
=
=
0
B
NBb
=
/
=
0
п
литок, на ширине
плиток и на высоте
C
NCc
=
/
=
0
плиток. Плитки будут лежать в
N
слоев по
NN
плиток в каждом.
C
AB
1) Работа против силы тяжести п
ри подъеме
груза массой
m
на высоту
h
равна
*
A mg
=
.
(1)
Для того, чтобы положить плитку в первый слой, необходимо вынуть ее из
мостовой и поднять на высоту
c
, совершив работу
mgc
. Чтобы положить плитку во
второй слой, ее надо поднять на высоту 2
c
, т.е. совершить работу 2
mgc
. Аналогично, для
того, чтобы положить плитку в слой номер
n
, надо совершить работу
nmgc
.
0
Работа, совершаемая при укладке:
*
первого слоя
A NN
=
,
1
AB
*
второго слоя
A
=
2
mgcN N
,
2
AB
………………………………
n
-ого слоя
A NN
*
=
,
n
A
B
………………………………
N
C
=+++ =
∑
.
*
*
*
*
*
Полная работа по укладке кирпичей
AA A
...
A
A
1
2
N
n
C
n
=
1
NN
(
+
1)
mgc A B C
⎛
C
⎞
*
A
=
mgcN N
(1
+ + +
2
...
N
)
=
mgcN N
CC
=
+
1
⎠
(2).
⎜
⎟
AB
C
AB
2
2
abc c
⎝
Подстановка численных значений приводит к результату
(
)
ABC
C
+
c
2
⋅
2
⋅
1
⋅
1
05
A
=
mg
=
10
⋅
10
=
105
кДж
.
(3)
2
abc
2
⋅
0
20
⋅
0
20
⋅
0
05
1.1.1
(альтернативный вариант).
Минимальная работа равна изменению потенциальной
энергии системы. Легко заметить, что параллелепипед состоит из целых плиток. Его
полная масса равна
ABC
M
=
m
.
abc
C
c
В ходе «строительства» штабеля центр масс системы поднимается на высоту
∆
h
=
+
,
2
2
поэтому изменение потенциальной энергии (то есть совершенная работа) равно
(
)
ABC
C
+
c
A
=
Mg
∆
h
=
mg
.
2
abc
2
1.1.2
.
Для того чтобы положить любую плитку в ящик,
надо поднять ее над бортиком (4),
поэтому каждую
плитку надо поднять на высоту
С
+ (вниз их опустит
сила тяжести) и совершить работу
С
mg C
(
+ . Всего
)
плиток
NNN
, поэтому полная работа будет
равна
ABC
с
ABC
*
A
=
N N N mg C
(
+ =
c
)
mg C
(
+
c
)
(5)
ABC
abc
*
A
=
210000
Дж
=
210
кДж
(6)
1.1.3.
Каждый слой пирамиды будет квадратным, поскольку на высоте пирамиды
уложится
H
LL
ab
N
== плиток и на обеих сторонах основания уложится
10
=
=
10
H
плиток.
На длине основания 1
ого
слоя уместится 10 плиток.
На длине основания 2
ого
слоя уместится 9 плиток.
На длине основания
n
-ого слоя уместится 11
− плиток.
n
− плиток, (7)
причем каждую из них необходимо поднять на высоту
nc
, тогда работа на укладку плиток
n
-ого слоя будет равна
В
n
-ом слое будет
(11
)
2
*
2
A
=
mgcn
(11
−
n
)
(8)
n
Полная работа, которую надо затратить на укладку пирамиды, равна
N
N
N
N
N
N
H
H
H
H
H
H
∑∑
∑
∑ ∑ ∑
.
*
*
2
3
2
3
2
A
=
A
=
mgcn
(11
−
n
)
=
mgc
(
n
−
22
n
+
121 )
n
=
mgc
(
n
−
22
n
+
121
n
)
n
n
=
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
Необходимые суммы приведены в условии задачи, поэтому
2
2
NN
(
+
1)
NN
(
+
1)(
N
+
2)
NN
(
+
1)
Am c
*
=
(
HH
−
22
HH
H
+
121
HH
)
=
4
6
2
NN
(
+
1)
NN
(
+
1)
22
(
⎡
⎤
=
mgc
HH
HH
−
N
+ +
2)
121
=
⎢
⎥
H
2
2
3
⎣
⎦
HH
HH
⎡
⎤
(
+
1)
(
+
1)
22
(
cc
cc
H
⎢
⎥
=
mgc
−
+ +
2)
121
(9)
c
2
⎢
2
3
⎥
⎣
⎦
A
*
=
24200
Дж
=
24, 2
кДж
(10)
3
 3
2.1.
Насос может создавать давление
P
=⋅
510
Па
. Это означает, что он сможет поднять
воду на высоту не большую, чем
P
h
=
.
(11)
max
ρ
g
Поднять на большую высоту не позволит гидростатическое давление.
В случае 2.1.1 насос сможет наполнить бассейн до уровня
h
, при этом объем
max
закачанной вод
ы будет равен
P
S
V
=
ABh
=
AB
.
(12)
max
ρ
p
Для того чтобы найти работу, совершенную насосом,
рассмотрим небольшой промежуток времени, за который насос по
шлангу закачал малый объем воды
∆
∆ =∆, где
S
- п
лощадь
поперечного сечения
шланга. На воду при этом
действует со стороны насо
са сила
F S
VSx
=
,
*
AFx SxpV
∆=∆= ∆=∆
.
Полная работа, которую
совершит насос,
а ее работа при этом равна
2
P
ABP
∑
*
AP V
=∆==
V
B
g
=
(13)
ρ
ρ
g
*
= =
(14)
Стоит отметить, что работа, совершенная насосом в 2 раза больше изменения
потенциальной энергии воды
A
100000
Дж
100
кДж
2
2
h
h
AB
ρ
gP
ABP
∆=
W
Mg
max
=
ABh
ρ
g
max
=
=
.
max
22
2
2
2
ρ
g
2
ρ
g
Дело в том, что на воду в шланге действует не только сила со стороны насоса,
но и сила гидростатического давления со стороны воды, уже закачанной в бассейн.
Равнодействующая этих сил не равна нулю (становится равной нулю только, когда
высота воды в бассейне достигнет
ma
h , поэтому вода в шланге движется с ускорением
и работа насоса идет на увеличение потенциальной и кинетической энергии воды. (15)
Вода в бассейне будет двигаться, но, в конце концов, успокоится благодаря силам
вязкого трения.
2.2.
В случае 2) закачка воды просто не начнется. По шлангу, переброшенному через борт
бассейна, надо поднять воду как минимум на высоту
C м
=
, а насос может поднять воду
не выше, чем на
max
h
=
0, 5
м
.
(12)
Соответственно, никакой работы
насос совер
шить не сможет, поэтому
*
A Дж
=
(16)
4
 1.3
Чтобы смести песок в пирамиду, необходимо совершить не только работу против
силы тяжести
*
*
A
, но ещё и работу
A
против силы трения, действующей на песчинки
т
тр
при сметании.
Работа против силы тяжести, идущая на увеличение потенциальной энергии
песчинок, равна
*
A
=
h
,
(18)
т
c
где
M
- масса пирамиды,
h
- высота центра масс пирамиды о
т основания.
22
1
3
H LH
ρ
*
A
=
ρ
Vgh
=
ρ
SHg
=
.
(19)
т
c
4
12
Заметим, что работа силы трения при движении по
наклонной плоскости полностью определяется
горизонтальным смещением. Действительно, пусть
тело находится на наклонной плоскости. Тогда сила
трения, действующая на него равна
F
=
µ cos
mg
α
.
Тогда при смещении тела на расстояние
∆ вдоль наклонной плоскости будет совершена
работа
µ cos (20)
и не зависит от угла наклона. Обобщая данный результат, следует заключить, что при
движении по поверхности любого профиля работа силы трения (или равная ей работа
внешней силы по преодолению трения) полностью определяется горизонтальным
смещением по формуле (20), если, конечно, не учитывать ускорения, могущие возникать
при движении тела.
Найдем работу, совершаемую против силы трения при
сметании песка. Очевидно, что для сметания песчинок,
находящихся на разном расстоянии от центра круга,
необходимо совершить разную работ
у. Разобьем круг на
большое количество
A
=
F
∆
L
=
mg
∆
L
α
=
µ
mg
∆
x
h
k
R
h
=
N
колец
толщиной
. (21)
N
R
R
Кольцо но
мер
k
, считая от це
нтра, будет иметь радиус
k
r h
=
2
= =
.
Масса всего песка внутри круга равна массе песка в
пирамиде
S
2
π
r h
2
π
h k
и площадь
k
k
2
SH
ρ
L H
MV
== =
,
ρρ
3
3
2
причем этот песок находится в круге площадью
S
π
=
.
В кольце номер
k
находи
тся песок массой
2
2
2
2
S
ρ
LH
2
π
h k
2
ρ
LHh
mM
=
k
=
=
k
(22)
k
2
2
S
3
π
R
3
R
При сметании песка из кольца
k
на него действует сила трения
Fgm
=
µ
, а
k
k
минимальная работа против нее (если сметать по радиусу) работа равна
2
2
2
3
2
ρ
LHh
2
µ ρ
g LHh
Agmr
*
=
µ
=
µ
g
khk
=
k
2
(23)
k
k
k
2
2
3
R
3
R
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • styleman.xlx.pl

    		•